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Mapa Massa-mola

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Física ondulatória

Conceitos Massa-mola

 

 1. Sistema massa-mola

Esse modelo é extremamente importante para a o estudo de fenômenos naturais, pois é usado como uma boa aproximação para oscilações de pequenas amplitudes, de sistemas que originalmente se encontram em equilíbrio estável. 

 

2. Uma mola com uma extremidade presa a um suporte fixo e a outra extremidade presa a uma mola

 

Nesta situação a mola se encontra numa posição horizontal, e a massa pode mover-se horizontalmente em um plano com um coeficiente de atrito desprezível.

 

 

 3. Uma massa presa a uma mola

Com uma boa aproximação podemos considerar que quando a massa é deslocada de sua posição de equilíbrio, a mola exerce uma força proporcional a distância até a posição de equilíbrio. Essa relação é conhecida como Lei de Hooke, e pode ser expressa como

 F = - k x

 

 onde  x  é a distância até a posição de equilíbrio e  k  é a constante da mola. Essa força também é chamada de força restauradora, pois tende a fazer com que a massa volte até a posição de equilíbrio. A energia potencial elástica  U(x)  associada a força restauradora tem a forma de uma parábola

 

 U(x) = k x2/2

 

4. Ponto de equilíbrio

O ponto de equilíbrio é aquele onde a força exercida pela mola sobre a massa é nula. E esse ponto representa o menor valor da energia potencial elástica.

 

 5. Condições iniciais

As condições iniciais determinam as especificidades do movimento do sistema massa-mola. Podemos ter uma situação inicial onde a mola está distendida e em repouso. Podemos também ter a condição inicial onde a distensão é nula (a massa está no ponto de equilíbrio) mas a velocidade é não nula. Ou podemos te uma combinação das condições anteriores.

 

 6. Amplitude de oscilação e constante de fase

 x(t) = A sen(wt+j)

v(t) = -wA cos(wt+j)

 onde

A = amplitude de oscilação

wt+ j = fase

w = freqüência angular

j = constante de fase

 

As condições iniciais são dadas através dos valores da amplitude de oscilação e constante de fase. Consideremos um sistema massa-mola onde a freqüência angular vale  w = 5rad/s . Se a constante de fase for  j = 0  e a amplitude de oscilação for  A=3m , teremos

 x(0) = 0

v(0) = -15m/s

 

7. Velocidade e posição

A solução x(t) da equação de movimento do sistema massa-mola que nos informa como a posição da mola varia com o tempo é dada por:

 x(t) = A sen(wt+j)

v(t) = -wA cos(wt+j)

 onde

A = amplitude de oscilação

wt+j  = fase

w = freqüência angular

j = constante de fase

 

Podemos inverter as relações de dependência e encontrar que

 

 

 

 8. Velocidade nula e posição diferente da posição de equilíbrio

Considerando a solução x(t) da equação de movimento do sistema massa-mola que nos informa como a posição da mola varia com o tempo é dada por:

 x(t) = A sen(wt+j)

v(t) = -wA cos(wt+j)

encontramos

v(0) = 0

x(0) = x0 0

ou seja:

A = x0

j = p/2

 

9. Posição de equilíbrio e velocidade não nula

Considerando a solução x(t) da equação de movimento do sistema massa-mola que nos informa como a posição da mola varia com o tempo é dada por:

 x(t) = A sen(wt+j)

v(t) = -wA cos(wt+j)

encontramos

v(0) = v0 = - wA    0

x(0) = 0

ou seja:

A = v0 /w

j = 0

 

10. Posição diferente da posição de equilíbrio e velocidade não nula

Considerando a solução x(t) da equação de movimento do sistema massa-mola que nos informa como a posição da mola varia com o tempo é dada por:

 x(t) = A sen(wt+j)

v(t) = -wA cos(wt+j)

encontramos

 

11. Características do sistema

O sistema massa mola é definido pelos valores da massa  m  e da constante elástica da mola  k , e considerando esses parâmetros, encontramos que a freqüência angular  w  tem a forma:

 

 

e o período T

 

12. Sistema conservativo (Ausência de atrito)

O sistema será considerado conservativo, quando forem conservativas as forças que nele atuam. Uma força é dita conservativa quando o trabalho que ela produz em um percurso fechado é nulo. Chamamos de percurso fechado a trajetória que retorna até a sua posição original. Consideremos um sistema composto pela Terra e uma bola que está localizada próximo a sua superfície. A força gravitacional entre a Terra e a bola é uma força conservativa, pois o trabalho que a força da Terra exerce sobre a bola em um percurso fechado é nulo. Por exemplo, se a bola for lançada verticalmente para cima ela retornará até a posição original com a mesma energia. Ou seja: o trabalho que a força gravitacional exerceu na subida da bola é exatamente igual e de sinal contrário ao trabalho que ela exerceu na descida.

 

13. Conservação da Energia Mecânica

Quando em um sistema só existirem forças conservativas, esse sistema será conservativo, e portanto a sua energia será uma constante.

 

 14. Pequenas oscilações de sistemas reais em equilíbrio estável

A energia potencial de um sistema ideal tal como o sistema massa-mola, é simétrica em torno da sua posição de mínimo. No entanto a energia potencial de sistemas reais não têm uma forma tão idealizada, mas apresenta-se como o exemplo adiante:

 

 

A energia potencial do gráfico anterior é um exemplo de uma função não simétrica em torno do ponto de mínimo  xMIN  . Se considerarmos um sistema onde a massa está sob a ação de um potencial da forma acima, e inicialmente se encontra na posição de equilíbrio  xMIN  , caso seja afastado de sua posição de equilíbrio ele tenderá a retornar a essa posição.

Se o afastamento da posição de equilíbrio for muito pequeno, a massa se deslocará por uma região onde a energia potencial é vizinha do ponto de mínimo, e essa região tem uma forma muito parecida com a parábola. Daí dizermos que para qualquer forma que tenha a energia potencial, para oscilações de pequenas amplitudes podemos aproximar o movimento por um oscilador harmônico.

 

15. Energia potencial atrativa, mas não simétrica em torno do ponto de mínimo

 

A energia potencial  U(x)  do gráfico ao lado é um exemplo de uma função não simétrica em torno do ponto de mínimo  xMIN  . Se considerarmos um sistema onde a massa está sob a ação de um potencial da forma acima, e inicialmente se encontra na posição de equilíbrio  xMIN  , caso seja afastado de sua posição de equilíbrio ele tenderá a retornar a essa posição. Se o afastamento da posição de equilíbrio for muito pequeno, a massa se deslocará por uma região onde a energia potencial é vizinha do ponto de mínimo, e essa região tem uma forma muito parecida com a parábola.

Daí dizermos que para qualquer forma que tenha a energia potencial, para oscilações de pequenas amplitudes podemos aproximar o movimento por um oscilador harmônico.

 

16. Dissipação da energia mecânica

Quando as forças que atuam em um corpo são conservativas, a energia mecânica se mantém constante enquanto esse corpo se movimenta. No entanto, quando pelo menos uma dessas forças for não-conservativa, a energia mecânica desse corpo não se manterá constante. Poderá aumentar ou diminuir dependendo do tipo de força não conservativa que esteja atuando.

 

17. Sistema dissipativo (Presença de atrito)

Uma categoria de força não conservativa são as forças dissipativas. Quando for dissipativa pelo menos uma das forças que atuam em um corpo, a sua energia mecânica diminui enquanto ele se movimenta. As forças de atrito são forças de contato entre duas superfícies, onde se dificulta o movimento relativo e como conseqüência existe uma transformação de parte da energia mecânica em calor.

 

18. Diminuição da Energia Mecânica

A energia mecânica de um sistema é a soma dos seus vários possíveis tipos de energia potencial e a sua energia cinética. Quando consideramos uma sistema conservativo, as forças que atuam nele são todas conservativas, e a sua energia mecânica se conserva, apesar se existir uma transformação permanente entre as energias potenciais e cinética. No entanto, na presença de uma força dissipativa, parte da energia mecânica do sistema vai se transformando de maneira irreversível em calor.