Estudo Dirigido de Física On-Line sobre Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)
III - Cinemática do M.H.S.
        O nosso sistema tem um comportamento similar ao que aparece no esquema abaixo:
                                Perfil de um comportamento tipo M.H.S.


        Oscilando em torno de um ponto central, apresentando uma variação de espaço maior nas 
proximidades do ponto central do que nas extremidades. Você saberia dizer qual o tipo de função
representada em nosso esquema? Esse formato característico pertence a que tipo de funções?
        Uma explicação para esse tipo de gráfico obtido poderia sair de uma análise das forças
existentes no sistema massa-mola, mesmo que a compreensão total da mesma somente possa ser 
entendida a fundo a nível universitário. 
        Sabendo-se que a força aplicada no bloco m do nosso sistema massa-mola na direção do eixo
X será igual à força restauradora exercida pela mola sobre o bloco na posição X aonde o mesmo se
encontrar (3a. Lei de Newton) podemos escrever a seguinte equação:
F (X) = - kX
Passando o segundo termo para o primeiro membro temos:
F (x) + kX = 0
Usando da 1a. Lei de Newton sabemos que F(X) = ma(X), tendo nós agora:
ma(X) + kX = 0
        Podemos perceber também que X = X(t) já que a posição de X varia com o tempo enquanto o 
nosso sistema oscila, ficando a nossa equação:
 ma(X(t)) + kX(t) = 0
        É possível se ver em um curso de Cálculo Diferencial e Integral a nível superior que em
sistemas dependentes do tempo como este podemos aplicar uma função de função chamada derivada
aonde podemos dizer que a(X(t)) = d^2X(t)/d^2t, ou seja, que a derivada segunda de X em relação
ao tempo é igual à aceleração de nosso sistema. Tendo a nossa equação o seguinte aspecto agora:
m(d2X(t)/d2t) + kX(t) = 0   
        Onde a solução desta equação sendo chamada de equação diferencial é a função de movimento
de nosso sistema massa-mola.
        Apesar de não termos conhecimentos para resolve-la, comentários podem ser feitos sobre a
mesma para termos uma idéia de como se resolve.
        Primeiro vamos tentar entender melhor o que seja uma derivada. Em uma função você sempre
dá um número e a função lhe devolve outro número. A derivada que é uma função de função não é
muito diferente, você lhe dar uma função e ela lhe dá outra função. Sendo a derivada segunda de
uma função, o resultado depois de ter passado duas vezes uma função por uma derivada.
        Passado esse ponto vamos tentar entender melhor o que seja resolver uma equação 
diferencial. Você sabe resolver uma equação de 2o. Grau não sabe? Pois bem, você deve se lembrar
que você tem algo do tipo:
aX2 + bX + c2  = 0
        E que a idéia de resolver a equação de segundo grau é encontrar valores de X que
satisfaçam a equação, ou seja, que se forem substituídos na expressão acima ela será igual a zero.
Você se lembra do procedimento do algoritmo, não?
delta =  b2 - 4ac
     X = (-b ± ((delta)1/2))/2a
        
        Onde você encontra aos valores que satisfazem a equação de 2o. Grau. Pois bem, a idéia de
resolver uma equação diferencial não é muito diferente, somente que em vez de valores você deverá
encontrar as funções que satisfazem a equação diferencial, funções que quando substituídas na
equação diferencial no nosso caso dê uma expressão final igual a zero.
        Mesmo sem sabermos como resolver à equação, posso dizer que um conjunto de funções que a
resolve são funções do tipo seno e coseno, o que corrobora muito bem com o esquema apresentado no
começo da seção.
        Em outras palavras, a nossa função de movimento X(t) terá a forma A cos(wt + ø) ou 
A sen(wt + ø), ou seja, X(t) = A cos(wt + ø) ou X(t) = A sen(wt + ø).
        Onde A é amplitude do nosso M.H.S, que seria o deslocamento máximo realizado pelo bloco
em relação à posição de equilíbrio, w é a freqüência angular do nosso movimento periódico em
radianos por segundo (w = 2*p*f, sendo f o número de vezes que o ciclo se repete a cada unidade
de tempo), t é a nossa grandeza de tempo, e ø é uma fase ou deslocamento angular acrescida ao
nosso M.H.S. Não existe grande diferença entre uma função seno ou coseno se virmos pela questão
de que uma função seno ou coseno se transforma na outra ou essa multiplicada por (-1) se
deslocarmos 90 graus ou p/2 uma em relação à outra.
        Uma outra forma para se ver que a equação de movimento do M.H.S. é do tipo seno ou coseno
é a partir da projeção do Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) sobre o eixo x, onde sabemos que
projeções são feitas a partir das funções seno e coseno.
                                
 
        Projeção do M.C.U. sobre o              M.C.U. com uma diferença de fase ø.
        eixo x produzindo um M.H.S.
 
A função obtida é do tipo seno ou coseno.

        O comportamento dessa equação de movimento pode ser mais bem compreendido ao tratarmos
também outros parâmetros importantes como a velocidade, a aceleração, a dinâmica e a energia no M.H.S.
        A partir da projeção do vetor velocidade no M.C.U. (usando de um pouco de conhecimentos
de trigonometria) também podemos deduzir que a função velocidade também será do tipo seno ou
coseno, sendo somente que v(t) = -wA sen(wt + ø) ou v(t) = wA cos(wt + ø), o que também pode ser
escrito v(t) = ±wX(t).
        Em um curso de Cálculo Diferencial e Integral poderemos ver que a função velocidade é a
derivada da função deslocamento em relação ao tempo, ou seja, que dX(t)/dt = v(t). E que disso,
poderemos deduzir que v(t) = dX(t)/dt = -wA sen(wt + ø) ou wA cos(wt + ø), considerando que 
X(t) será igual a A cos(wt + ø) ou a A sen(wt + ø).
 
            
        Vetores Velocidade e Aceleração do M.C.U.       Gráficos da função deslocamento,
                                                        função velocidade e função aceleração
                                                                     do M.H.S.
 
        Entretanto, podemos fazer uma análise dimensional e verificar a coerência da forma
apresentada. Podemos usar uma análise dimensional para verificar se em termos de unidades a
expressão é coerente. Por exemplo, os termos cos(wt + ø) e sen(wt + ø) são termos adimensionais,
ou seja, não são representarmos em termos de m/s, m/s2, kg, N, oC, J ou qualquer unidade física,
são apenas números que no caso dessas funções apenas assumem valores que vão de (-1) a 1. 
        A amplitude A no entanto está representando o valor máximo de deslocamento do nosso
sistema massa-mola em relação à posição de equilíbrio em unidades de distância, que no nosso caso
usaremos o m.  A freqüência angular w, que é igual a 2*p*f, onde a freqüência linear f é dada em
termos de 1 sobre a nossa unidade de tempo t ,(1/t), já que f dá o número de repetições de ciclos
em uma unidade de tempo t, também será dada em termos de 1 sobre a unidade de tempo t já que 2*p
também é adimensional. A nossa unidade de tempo no caso será o segundo. A expressão será coerente
dimensionalmente se as unidades do primeiro membro forem iguais a do segundo membro. Ou seja, que
as unidades do segundo membro dêem a unidade m/s que é correspondente à grandeza velocidade. Tudo
isso pode ser escrito da seguinte maneira:
1o. Membro: [v] = m/s
2o. Membro: [A][w] = m * 1/s = m/s

        Então dimensionalmente, a expressão é coerente. A análise dimensional não permite definir
se existem constantes ou outros termos adimensionais multiplicando as grandezas, mas com certeza
é uma ferramenta útil para dirimir discrepâncias e vermos a coerência de expressões.
        Para a aceleração do M.H.S. também podemos ver que a mesma é do tipo seno ou coseno a
partir da projeção do vetor aceleração do M.C.U., somente que a sua expressão é dada por 
a(t) = -(w2)A cos(wt + ø) ou -(w2)A sem(wt + ø). A partir de um curso de Cálculo Diferencial e 
Integral também podemos ver que a aceleração é a derivada segunda em relação ao tempo da função
deslocamento X(t), ou seja, que a(t) = dv(t)/dt = d(dX(t)/dt)/dt = d2X(t)/dt = -(w2)X(t), de 
onde podemos deduzir que a(t) = -(w2)A cos(wt + ø) ou -(w2)A sen(wt + ø); mas podemos fazer uma 
análise dimensional para a função aceleração assim como fizemos para a função velocidade. Assim
sendo:
1o. Membro: [a] = m/(s2)
2o. Membro: [A][w2] = [A][w][w] = m * 1/s * 1/s = m * 1/(s2) = m/(s2)
        O que comprova que a equação dimensionalmente é coerente.
        A essa altura você deve estar se perguntando como podemos saber qual é o valor de w?
Posso dizer que w, que é a nossa freqüência angular, determinando a variação angular do nosso
oscilador no tempo, que está diretamente relacionado a nossa freqüência linear f, que determina o
número de ciclos realizados por nosso oscilador em uma unidade de tempo, dependerá do fator de
restauração k da mola e do fator de inércia m do bloco, ambas respectivamente com unidades 
físicas de [k] = N/m e [m] = kg. Como [w] = 1/s, podemos encontrar uma maneira de arranjar as
grandezas físicas k e m de maneira a termos uma expressão aproximada para w.
        De antemão já digo que essa expressão será obtida tirando-se a raiz quadrada da razão
de k/m, ficando:
(([k]/[m])1/2) = (((N/m)/kg)1/2) = ((((kg * m/(s2))/m)/kg)1/2) = 
        = ((((kg/m)*(m/(s2)))/kg)1/2) = (((kg/(s2))/kg)1/2) = (((kg/kg)*(1/(s2)))1/2) =
        = ((1/(s2))1/2) = 1/s
        onde já poderíamos considerar pela análise dimensional que uma expressão próxima da que 
determinasse w seria w ~ ((k/m)1/2), o que não permite sabermos se existiriam termos
adimensionais ou constantes, mas experimentalmente já fora comprovado a bastante tempo que
realmente w = ((k/m)1/2).
        Na próxima seção, compreendermos como se dá o processo de conservação de energia dentro
do sistema massa-mola, como se dão as conversões de energia potencial em cinética e vice-versa,
antes de chegarmos a Dinâmica do M.H.S., onde poderemos ver algumas variações do nosso sistema
massa-mola apresentado.
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