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3.4. Lançamento Vertical

   Uma partícula é lançada verticalmente com velocidade inicial v0 a partir de uma altura h relativo ao solo, local onde se escolheu a origem do nosso eixo de referência. O corpo se desloca até uma altura H quando sua velocidade v se anula, inverte-se, portanto, o sentido da velocidade começando um movimento de descida.

   Considere o eixo de referência y para cima como positivo. O corpo foi lançado no mesmo sentido da referência, o que torna v0 positivo e g, o vetor aceleração da gravidade atua no sentido contrário. Da equação horária do movimento retilíneo e uniforme (3.3), podemos escrever a equação de movimento para o lançamento vertical (3.5) como sendo

(3.5)

   Analisando a equação (3.5), temos o sinal negativo, indicando que o vetor g é contrário ao sentido de referência adotado (valor para g positivo) e y0 = h, a altura de lançamento.

   A partir da equação de velocidade do movimento uniformemente variado (3.2), escreve-se a equação de velocidade para o lançamento vertical (3.6) como

(3.6)

   Da combinação das equações (3.5) e (3.6), encontra-se a equação de Torricelli para o lançamento vertical (3.7) como

(3.7)

   Podemos deduzir alguns resultados para o movimento vertical, tais como:

Tempo de subida

No topo da trajetória, para a velocidade v = 0, substituindo este valor na equação (3.6) e fazendo t = ts, temos para o tempo de subida dado pela equação (3.8)

(3.8)

Altura máxima

   Para o tempo de subida, o corpo encontra-se na máxima altura possível, ymax. Substituindo y0 por h e t por ts na equação de movimento (3.5)

(3.9)

Velocidade final

   Velocidade atingida quando y = 0, na altura do solo, e usando Torricelli (3.7)

e extraindo a raiz quadrada, encontramos para a velocidade final (lembrando que este valor deve ser negativo) dado pela equação (3.10)

(3.10)

Tempo final

   Substituindo o valor da velocidade final (3.10) na equação de velocidade (3.6) tem-se

(3.11)

   Na possibilidade de se atirar o corpo verticalmente para baixo, mantendo-se a mesma orientação de referência, tenha o cuidado de usar o valor da velocidade inicial v0 negativo.

   Tratando-se do mesmo problema, mas com mudança no sentido de referência, positivo para baixo, apresenta-se algumas modificações que precisam ser entendidas. O caminho inicial será colocar a origem do eixo de referência no local de lançamento e mais uma vez ter em mente que a velocidade inicial v0 terá valor negativo quando o objeto for lançado para cima, contrário ao sentido positivo escolhido para a referência.

   A seguir serão listadas as diferenças para facilitar o entendimento sempre tomando-se por base os resultados obtidos até o momento. Vejamos:

  • As equações de movimento (3.5), de velocidade (3.6) e Torricelli (3.7) seriam reescritas com o sinal positivo para a parcela referente a aceleração pois a mesma atua no sentido da referência;
  • O tempo de subida ts seria o negativo da expressão (3.8);
  • A altura mínima ymin é calculada através de (3.12)

    (3.12)

    para uma altura máxima, quando o corpo toca o chão, ymax = h

  • A velocidade final vf seria o negativo da expressão (3.10);

  • O tempo final tf é calculado através da expressão (3.13) abaixo
    (3.13)

  •    Para facilitar o cálculo das grandezas envolvidas no lançamento vertical, escolha a origem do eixo de referência no local de lançamento, escreva as equações (3.5), (3.6) e (3.7) com os sinais positivos aparecendo o sinal quando for substituído o valor numérico da aceleração (negativo, quando contrário ao eixo de referência).

       Um caso particular para o lançamento vertical ocorre quando a partícula é liberada do repouso, estando a uma certa altura em relação ao solo, chamamos de Queda Livre.

    Links para simulações em Java

    Queda Livre


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José Nazareno dos Santos (Bolsista do PROLICEN)
Prof. Dr. Romero Tavares da Silva (Orientador)

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